Equilibre d’un solide mobile autour d’un axe

Equilibre d’un solide mobile autour d’un axe

1. Rotation autour d’un axe

1. Axe de rotation 

Un solide est animé d’un mouvement de rotation autour d’un axe fixe si au moins deux de ses points restent immobiles au cours de son mouvement. 

La droite qui joint les deux point fixes est appelée axe de rotation.

Exemples :

Une porte est animée d’un mouvement de rotation autour d’un axe fixe (Δ) passant par les deux gonds

Remarque : 

Une roue de voiture est en rotation autour d’un axe mobile

2. Sens de rotation

3. Force orthogonale à un axe de rotation

4. Effet d’une force

Généralisation :

• Une force dont la droite d’action est parallèle à l’axe de rotation n’a aucun effet de rotation. Il en est de même qu’une force dont la droite d’action rencontre l’axe de rotation.
• Une force dont la droite d’action n’est ni parallèle ni sécante à l’axe de rotation peut provoquer une rotation.
• L’effet de rotation d’une force sur un solide mobile autour d’un axe fixe dépend :

• De l’intensité de cette force
• Des positions relatives (distances) de l’axe de rotation et de la droite d’action de la force.

5. Distance de la ligne d’action d’une force à l’axe

C’est la distance d séparant la droite d’action d’une force et l’axe. Cette distance est appelée « bras de levier ».

Le bras de levier est la longueur du segment perpendiculaire à la fois à :

• L’axe de rotation (Δ),
• La droite d’action de la force.
•  

2. Moment d’une force par rapport à un axe fixe

1. Expérience

Considérons un disque homogène vertical pouvant tourner autour de son axe de révolution.

Complétons le tableau de mesure suivant :

Observation :

Nous constatons que :

• Si d augmente, F diminue ;
• Le produit F.d est constant

2. Définition du moment d’une force

Le moment d’une force noté est une grandeur physique qui traduit l’efficacité de cette force à faire tourner un solide autour de son axe de rotation dans un sens ou dans l’autre.

La valeur absolue du moment d’une force par rapport à l’axe de rotation (Δ) est donné par le produit de l’intensité de la force F par la longueur d du bras de levier :

Le moment d’une force s’exprime dans le S.I en newton-mètre N.m.

3. Expression algébrique

Afin de distinguer les deux possibilités de sens de rotation, le moment d’une force est évalué algébriquement par l’expression : 

• lorsque la force tend à faire tourner le corps dans le sens positif choisi. 
• lorsque la force tend à faire tourner le corps dans le sens négatif. 

Remarque : avant de déterminer le moment d’une force, il faut toujours choisir le sens positif arbitraire.

3. Couples de forces

1. Définition d’un couple de force

Un système de deux forces parallèles, de sens contraire, de même intensité et n’ayant pas le même support constitue un couple de force.

est un couple si et seulement si  .

2. Exemples

Représentation plane d’un couple

Un couple produit sur un corps un mouvement de rotation dans un sens. On choisit de manière arbitraire un sens qui est dit positif ou direct. 

• Si le couple tend à faire tourner le corps dans le sens positif : il est dit moteur.
• Si le couple tend à faire tourner le corps dans le sens contraire : il est dit résistif.

3. Moment d’un couple de force

Si un couple de forces est appliqué à un solide mobile autour d’un axe fixe (Δ) on a :

On pose : (d distance des supports de et)

4. Couple de torsion

1. Définition

2. Moment du couple de torsion

Quand le solide tourne autour de l’axe du fil, celui-ci réagit à la torsion en exerçant des forces de rappels équivalents à un couple dont le moment par rapport à l’axe est proportionnel à l’angle de torsion : 

La constante C dite constante de torsion dépend de la longueur L (en m) et du diamètre d (en m) du fil (supposé cylindrique) et de la nature du matériau constituant le fil.

4. Equilibre d’un solide mobile autour d’un axe fixe

1. Expérience

Dressons un tableau et calculons la somme des moments :

On constate qu’à l’équilibre la somme des moments est nulle. 

2. Théorème des moments

Lorsqu’un solide mobile autour d’un axe st en équilibre, la somme algébrique des moments des forces appliquées est nulle :

NB : cette condition est nécessaire mais pas suffisante car le solide peut être animé d’un mouvement de rotation uniforme autour de l’axe (Δ).

3. Conditions  générales  d’équilibre

Si un solide capable de tourner autour d’un axe est en équilibre, on a les deux conditions suivantes :

• Immobilité du centre de gravité : La somme vectorielle des forces extérieures qui s’exercent sur le solide est nulle :

• Absence de rotation autour de l’axe : La somme algébrique des moments par rapport à l’axe de rotation des forces appliquées est nulle : 

NB : Ces conditions ne sont pas suffisantes.

5. Applications 

Le moment d’une force trouve son application dans les balances, les poignets des portes, les machines simples (poulies, treuils, leviers, …).

1. Démarche pour la résolution

Pour résoudre des problèmes d’équilibre de solides en rotation, il faut :

1. Définir le système étudié,
2. Faire le bilan des forces,
3. Déterminer l’axe de rotation et choisir un sens positif de rotation,
4. Exprimer le moment des différentes forces et indiquer s’il est positif ou  négatif
5. Appliquer les conditions générales d’équilibre :

2. La poulie

La poulie est une roue mobile autour d’un axe et sur la gorge de laquelle on fait passer une corde. On l’utilise, par exemple, dans les chantiers de construction pour soulever des charges.

Exercice :

Une poulie de poids 20 N et de rayon r tourne sans frottement autour d’un axe fixe (Δ). Sur l’extrémité A d’une corde de masse négligeable passant par la gorge de la poulie on applique une force d’intensité 30 N et faisant un angle β = 60° avec la verticale, l’extrémité B soutient un objet de masse M.

1. Montrer qu’à l’équilibre l’intensité de la force qu’il faut exercer en A est égal au poids de la masse M. En déduire la masse M.
2. Déterminer alors la réaction de l’axe sur la poulie.

Solution :

• A l’équilibre de rotation :   

  car rencontrent l’axe de rotation  

Déduisons la masse M :

2. Déterminons la réaction de l’axe sur la poulie

NB : La poulie lorsqu’elle est sans frottement ne fait que changer la direction d’une force mais l’intensité reste la même.

La manœuvre est beaucoup facile lorsqu’on utilise une poulie.

3. Le treuil

Le treuil est formé d’un cylindre de rayon r mobile autour d’un axe horizontal (Δ) sur lequel est enroulé un fil qui supporte une charge. Il servait autrefois à puiser de l’eau du puits.

Exercice : 

Un treuil mobile sans frottement est constitué d’un cylindre homogène de poids P₀ et de rayon r = 10 cm, et d’une manivelle de poids négligeable et de longueur L = 40 cm. Ce treuil est utilisé pour soulever un solide de poids P = 200 N fixé à l’extrémité inferieur de (B) d’une corde de masse négligeable.

Déterminer à l’équilibre la valeur de la force motrice F qu’il faut appliquer sur le poignet (A) perpendiculairement à la manivelle.

Solution :

• Absence de rotation autour de (Δ) :  

car rencontrent l’axe de rotation

Remarque :        F  <  P

• La relation traduisant l’immobilité de G permettrait de déterminer la réaction

NB : Le treuil permet de soulever une charge en développant une force inférieure au poids de cette charge.

4. Le levier

Un levier est un solide mobile autour d’un axe à l’aide du quel on peut appliquer une grande force sur un objet en exerçant un petite force sur le levier.

Exercice : 

Solution : 

• Condition d’équilibre de rotation : 

Choisissons le sens de rotation indiqué sur le schéma (le sens trigonométrique) 

Or OH = OA sinα         ⇒                

2. Détermination de la réaction R₀ du sol 

Condition d’équilibre de translation :     

• Projetons suivant x’x :     
• Projetons suivant y’y :      

Application numérique :         

NB : Les pieds de biche sont des leviers, ils sont utilisés par les ouvriers pour arracher des clous solidement encrés.